Articole

1.8: Limite și continuitate a funcțiilor trigonometrice inverse


Funcții inverse

Reamintim că o funcție (f ) este unu la unu (adesea scris ca (1-1 )) dacă atribuie valori distincte ale (y ) valorilor distincte ale (x ). Există un simplu regulă orizontală pentru a determina dacă o funcție (y = f (x) ) este unu-la-unu: (f ) este unu-la-unu dacă și numai dacă fiecare linie orizontală intersectează graficul lui (y = f ( x) ) în planul de coordonate (xy ) - cel mult o dată (vezi Figura 5.3.3).


Figura 5.3.3 Regula orizontală pentru funcțiile one-to-one

Dacă o funcție (f ) este una-la-unu pe domeniul său, atunci (f ) are un funcție inversă, notat cu (f ^ {- 1} ), astfel încât (y = f (x) ) dacă și numai dacă (f ^ {- 1} (y) = x ). Domeniul (f ^ {- 1} ) este domeniul (f ).

Ideea de bază este că (f ^ {- 1} ) „anulează” ceea ce face (f ) și invers. Cu alte cuvinte,
[ nonumber begin {alignat *} {3}
f ^ {- 1} (f (x)) ~ & = ~ x quad && text {pentru toate (x ) din domeniul (f ) și} nonumber
f (f ^ {- 1} (y)) ~ & = ~ y quad && text {pentru toate (y ) din intervalul (f ).}
end {alignat *} ]

Teorema ( PageIndex {1} )

Dacă (f ) este continuu și unu la unu, atunci (f ^ {- 1} este continuu pe domeniul său.

Funcții trigonometrice inverse

Știm din graficele lor că niciuna dintre funcțiile trigonometrice nu este una-la-unu pe întregul lor domeniu. Cu toate acestea, putem restrânge aceste funcții la subseturi a domeniilor lor unde se află sunteți unu la unu. De exemplu, (y = sin ; x ) este unu-la-unu peste interval ( left [- frac { pi} {2}, frac { pi} {2} right ] ), așa cum vedem în graficul de mai jos:

Pentru (- frac { pi} {2} le x le frac { pi} {2} ) avem (- 1 le sin ; x le 1 ), deci poate defini sinus invers funcție (y = sin ^ {- 1} x ) (numită uneori arc sinusal și notat cu (y = arcsin ; (x )) al cărui domeniu este intervalul ([- 1,1] ) și al cărui interval este intervalul ( left [- frac { pi} { 2}, frac { pi} {2} right] ). Cu alte cuvinte:

[ begin {alignat} {3}
sin ^ {- 1} ( sin ; y) ~ & = ~ y quad && text {pentru (- tfrac { pi} {2} le y le
tfrac { pi} {2} )} label {eqn: arcsin1}
sin ; ( sin ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {pentru (- 1 le x le 1 )} label {eqn: arcsin2}
end {alignat} ]

Rezumatul funcțiilor trigonometrice inverse

Să ilustrăm rezumatul funcțiilor trigonometrice și al funcțiilor trigonometrice inverse în tabelul următor:

Funcția trigonometricăgrafic al funcției trigonometrice

Domeniu restricționat

și

gama

Funcția trigonometrică inversă

grafic al funcției trigonometrice inverse

Proprietăți
(f (x) = sin (x) )

( left [- frac { pi} {2}, frac { pi} {2} right] )

și ([- 1,1] )

(f ^ {- 1} (x) = sin ^ {- 1} x )
(f (x) = cos (x) )

([0, pi] )

și ([- 1,1] )

(f ^ {- 1} (x) = cos ^ {- 1} x ) [ begin {alignat} {3}
cos ^ {- 1} ( cos ; y) ~ & = ~ y quad && text {pentru (0 le y le pi )} label {eqn: arccos1}
cos ; ( cos ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {pentru (- 1 le x le 1 )} label {eqn: arccos2}
end {alignat} ]

(f (x) = tan (x) )

( left (- frac { pi} {2}, frac { pi} {2} right) )

și ( mathbb {R} )

(f ^ {- 1} (x) = tan ^ {- 1} x )

[ begin {alignat} {3}
tan ^ {- 1} ( tan ; y) ~ & = ~ y quad && text {pentru (- tfrac { pi} {2} tfrac { pi} {2} )} label {eqn: arctan1}
tan ; ( tan ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {pentru toate realele ((x )} label {eqn: arctan2}
end {alignat} ]

(f (x) = cot (x) )

[ begin {alignat} {3}
cot ^ {- 1} ( cot ; y) ~ & = ~ y quad && text {pentru (0 cot ; ( cot ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {pentru toate cele reale (x )} label {eqn: arccot2}
end {alignat} ]
(f (x) = sec (x) )

([0, pi] ), cu (x ne frac { pi} {2} )

și

( mathbb {R} )

[ begin {alignat} {3}
csc ^ {- 1} ( csc ; y) ~ & = ~ y quad && text {pentru (- frac { pi} {2} le
y le frac { pi} {2} ), (y ne 0 )} label {eqn: arccsc1}
csc ; ( csc ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {pentru (| x | ge 1 )} label {eqn: arccsc2}
end {alignat} ]

[ begin {alignat} {3}
sec ^ {- 1} ( sec ; y) ~ & = ~ y quad && text {pentru (0 le y le pi ), (y ne
frac { pi} {2} )} label {eqn: arcsec1}
sec ; ( sec ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {pentru (| x | ge 1 )} label {eqn: arcsec2}
end {alignat} ]

Mai jos sunt exemple:

Exemplu ( PageIndex {1} ):

Găsiți ( sin ^ {- 1} left ( sin ; frac { pi} {4} right) ).

Soluţie

Deoarece (- frac { pi} {2} le frac { pi} {4} le frac { pi} {2} ), știm că ( sin ^ {- 1} left ( sin ; frac { pi} {4} right) = boxed { frac { pi} {4}} ; ), prin Ecuația ref {eqn: arcsin1}.

Exemplu ( PageIndex {2} ):

Găsiți ( sin ^ {- 1} left ( sin ; frac {5 pi} {4} right) ).

Soluţie

Deoarece ( frac {5 pi} {4}> frac { pi} {2} ), nu putem folosi ecuația ref {eqn: arcsin1}. Dar știm că ( sin ; frac {5 pi} {4} = - frac {1} { sqrt {2}} ). Astfel, ( sin ^ {- 1} left ( sin ; frac {5 pi} {4} right) = sin ^ {- 1} left (- frac {1} { sqrt {2}} right) ) este, prin definiție, unghiul (y ) astfel încât (- frac { pi} {2} le y le frac { pi} {2} ) și ( sin ; y = - frac {1} { sqrt {2}} ). Unghiul respectiv este (y = - frac { pi} {4} ), deoarece

[ sin ; left (- tfrac { pi} {4} right) ~ = ~ - sin ; left ( tfrac { pi} {4} right) ~ = ~
- tfrac {1} { sqrt {2}} ~. fără număr ]

Exemplu ( PageIndex {3} ):

Găsiți ( cos ^ {- 1} left ( cos ; frac { pi} {3} right) ).

Soluţie

Deoarece (0 le frac { pi} {3} le pi ), știm că ( cos ^ {- 1} left ( cos ; frac { pi} {3} right) = boxed { frac { pi} {3}} ; ), prin ecuația ref {eqn: arccos1}.

Exemplu ( PageIndex {4} ):

Găsiți ( cos ^ {- 1} left ( cos ; frac {4 pi} {3} right) ).

Soluţie

Deoarece ( frac {4 pi} {3}> pi ), nu putem folosi ecuația ref {eqn: arccos1}. Dar știm că ( cos ; frac {4 pi} {3} = - frac {1} {2} ). Astfel, ( cos ^ {- 1} left ( cos ; frac {4 pi} {3} right) = cos ^ {- 1} left (- frac {1} {2 } dreapta) ) este, prin definiție, unghiul (y ) astfel încât (0 le y le pi ) și ( cos ; y = - frac {1} {2} ). Unghiul respectiv este (y = frac {2 pi} {3} ) (adică (120 ^ circ )). Astfel, ( cos ^ {- 1} left ( cos ; frac {4 pi} {3} right) = boxed { tfrac {2 pi} {3}} ; ) .

Exemplu ( PageIndex {5} ):

Găsiți ( tan ^ {- 1} left ( tan ; frac { pi} {4} right) ).

Soluţie

Deoarece (- tfrac { pi} {2} le tfrac { pi} {4} le tfrac { pi} {2} ), știm că ( tan ^ {- 1} left ( tan ; frac { pi} {4} right) = boxed { frac { pi} {4}} ; ), prin Ecuația ref {eqn: arctan1}.

Exemplu ( PageIndex {6} ):

Găsiți ( tan ^ {- 1} left ( tan ; pi right) ).

Soluţie

Deoarece ( pi> tfrac { pi} {2} ), nu putem folosi ecuația ref {eqn: arctan1}. Dar știm că ( tan ; pi = 0 ). Astfel, ( tan ^ {- 1} left ( tan ; pi right) = tan ^ {- 1} 0 ) este, prin definiție, unghiul (y ) astfel încât ( - tfrac { pi} {2} le y le tfrac { pi} {2} ) și ( tan ; y = 0 ). Unghiul respectiv este (y = 0 ). Astfel, ( tan ^ {- 1} left ( tan ; pi right) = boxed {0} ; ).

Exemplu ( PageIndex {7} ):

Găsiți valoarea exactă a ( cos ; left ( sin ^ {- 1} ; left (- frac {1} {4} right) right) ).

Soluţie

Să ( theta = sin ^ {- 1} ; left (- frac {1} {4} right) ). Știm că (- tfrac { pi} {2} le theta le tfrac { pi} {2} ), deci din moment ce ( sin ; theta = - frac {1} {4} <0 ), ( theta ) trebuie să fie în QIV. Prin urmare ( cos ; theta> 0 ). Prin urmare,

[ cos ^ 2 ; theta ~ = ~ 1 ~ - ~ sin ^ 2 ; theta ~ = ~ 1 ~ - ~ left (- frac {1} {4} right) ^ 2 ~ = ~ frac {15} {16}
quad Rightarrow quad cos ; theta ~ = ~ frac { sqrt {15}} {4} ~. fără număr ]

Rețineți că am luat rădăcina pătrată pozitivă de mai sus, deoarece ( cos ; theta> 0 ). Astfel, ( cos ; left ( sin ^ {- 1} ; left (- frac {1} {4} right) right) = boxed { frac { sqrt {15} } {4}} ; ).

Exemplu ( PageIndex {8} ):

Arată că ( tan ; ( sin ^ {- 1} x) = dfrac {x} { sqrt {1 - x ^ 2}} ) pentru (- 1

Soluţie

Când (x = 0 ), ecuația se menține în mod trivial, deoarece

[ nonumber tan ; ( sin ^ {- 1} 0) ~ = ~ tan ; 0 ~ = ~ 0 ~ = ~ dfrac {0} { sqrt {1 - 0 ^ 2}} ~ . ]

Acum presupunem că (0

Dacă (- 1

Exemplu ( PageIndex {9} ):

Dovediți identitatea ( tan ^ {- 1} x ; + ; cot ^ {- 1} x ~ = ~ frac { pi} {2} ).

Soluţie:

Fie ( theta = cot ^ {- 1} x ). Folosind relațiile, avem

[ nonumber tan ; left ( tfrac { pi} {2} - theta right) ~ = ~ - tan ; left ( theta - tfrac { pi} {2} dreapta)
~ = ~ cot ; theta ~ = ~ cot ; ( cot ^ {- 1} x) ~ = ~ x ~, ]

prin ecuație ref {eqn: arccot2}. Deci, deoarece ( tan ; ( tan ^ {- 1} x) = x ) pentru toate (x ), aceasta înseamnă că ( tan ; ( tan ^ {- 1} x) = tan ; left ( tfrac { pi} {2} - theta right) ). Astfel, ( tan ; ( tan ^ {- 1} x) = tan ; left ( tfrac { pi} {2} - cot ^ {- 1} x right) ). Acum, știm că (0 < cot ^ {- 1} x < pi ), deci (- tfrac { pi} {2} < tfrac { pi} {2} - cot ^ {-1} x < tfrac { pi} {2} ), adică ( tfrac { pi} {2} - cot ^ {- 1} x ) se află în subsetul restricționat pe care tangenta funcția este unu-la-unu. Prin urmare, ( tan ; ( tan ^ {- 1} x) = tan ; left ( tfrac { pi} {2} - cot ^ {- 1} x right) ) implică that ( tan ^ {- 1} x = tfrac { pi} {2} - cot ^ {- 1} x ), care dovedește identitatea.

Continuitatea funcțiilor trigonometrice inverse

Exemplu ( PageIndex {1} ):

Fie (f (x) = frac {3 sec ^ {- 1} (x)} {4- tan ^ {- 1} (x)} ). Găsiți valorile (dacă există) pentru care (f (x) ) este continuu.

Exercițiu ( PageIndex {1} )

Fie (f (x) = frac {3 sec ^ {- 1} (x)} {8 + 2 tan ^ {- 1} (x)} ). Găsiți valorile (dacă există) pentru care (f (x) ) este continuu.

Răspuns

Limita funcțiilor trigonometrice inverse

Teorema ( PageIndex {1} )

(lim_ {x rightarrow infty} tan ^ {- 1} (x) = frac { pi} {2} ).

(lim_ {x rightarrow - infty} tan ^ {- 1} (x) = - frac { pi} {2} ).

(lim_ {x rightarrow infty} sec ^ {- 1} (x) = lim _ {x rightarrow infty} sec ^ {- 1} (x) = frac { pi} {2 } ).

Exemplu ( PageIndex {1} ):

Găsiți ( lim_ {x rightarrow infty} sin left (2 tan ^ {- 1} (x) right) ).

Exercițiu ( PageIndex {1} )

Găsiți ( lim_ {x rightarrow - infty} sin left (2 tan ^ {- 1} (x) right) ).

Răspuns

Intrebarea 2.

Răspuns:
(c) bronz -1 (15)

Întrebarea 3.

Răspuns:
(b) ( sqrt < frac <3> <76>> )

Întrebarea 4.

Răspuns:
(d) ( frac < pi> <4> )

Întrebarea 5.
Dacă sin -1 (x 2 & # 8211 7x + 12) = nπ, ∀ n ∈ I, atunci x =
(a) -2
(b) 4
(c) -3
(d) 5
Răspuns:
(b) 4

Întrebarea 8.
Dacă tan -1 (pat θ) = 2θ, atunci θ este egal cu
(a) ( frac < pi> <3> )
(b) ( frac < pi> <4> )
(c) ( frac < pi> <6> )
(d) Niciuna dintre acestea
Răspuns:
(c) ( frac < pi> <6> )

Întrebarea 9.
cot ( ( frac < pi> <4> ) & # 8211 2cot -1 3) =
(a) 7
(b) 6
(c) 5
(d) Niciuna dintre acestea
Răspuns:
(a) 7

Întrebarea 10.
Dacă tan -1 3 + tan -1 x = tan -1 8, atunci x =
(a) 5
(b) ( frac <1> <5> )
(c) ( frac <5> <14> )
(d) ( frac <14> <5> )
Răspuns:
(b) ( frac <1> <5> )

Întrebarea 11.

Răspuns:
(d) (- frac < pi> <6> )

Întrebarea 12.

Răspuns:
(b) ( frac < pi> <3> )

Întrebarea 13.

Răspuns:
(b) ( frac < pi> <3> )

Întrebarea 14.

Răspuns:
(a) ( frac < pi> <4> )

Întrebarea 15.

Răspuns:
(b) ( frac <3 pi> <4> )

Întrebarea 16.

Răspuns:
(d) ( frac <2 pi> <3> )

Întrebarea 17.

Răspuns:
(a) ( tan ^ <2> left ( frac < alpha> <2> right) )

Întrebarea 18.

Răspuns:
(b) ( frac <6> <17> )

Întrebarea 19.
Dacă tan -1 (x & # 8211 1) + tan -1 x + tan -1 (x + 1) = tan -1 3x, atunci valorile lui x sunt
(a) ( pm frac <1> <2> )
(b) 0, ( frac <1> <2> )
(c) 0, (- frac <1> <2> )
(d) 0, ( pm frac <1> <2> )
Răspuns:
(d) 0, ( pm frac <1> <2> )

Întrebarea 20.
Dacă 6sin -1 (x 2 & # 8211 6x + 8,5) = π, atunci x este egal cu
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 8
Răspuns:
(b) 2

Întrebarea 21.

Răspuns:
(d) (- frac <24> <25> )

Întrebarea 22.
sin -1 (1 & # 8211 x) & # 8211 2sin -1 x = ( frac < pi> <2> )
(a) 0
(b) 1/2
(c) 0, 1/2
(d) -1/2
Răspuns:
(a) 0

Întrebarea 23.
2tan -1 (cos x) = tan -1 (2cosec x)
(a) 0
(b) π / 3
(c) π / 4
(d) π / 2
Răspuns:
(c) π / 4

Întrebarea 24.

Răspuns:
(a) ( sqrt < frac+1>+2>>)

Întrebarea 25.

Răspuns:
(a) ( frac <3 pi> <5> )

Întrebarea 26.
Domeniul funcției se definește prin f (x) = ( sin ^ <-1> sqrt) este
(a) [1, 2]
(b) [-1, 1]
(c) [0, 1]
(d) niciuna dintre acestea
Răspuns:
(a) [1, 2]

Întrebarea 27.
Valoarea păcatului (2tan -1 (0,75)) este egală cu
(a) 0,75
(b) 1.5
(c) 0,96
(d) păcatul 1.5
Răspuns:
(c) 0,96

Întrebarea 29.

Răspuns:
(c) ( frac <24> <25> )

Întrebarea 30.
Valoarea expresiei ( tan left ( frac <1> <2> cos ^ <-1> frac <2> < sqrt <3>> right) )
(a) 2 + √5
(b) √5 & # 8211 2
(c) ( frac < sqrt <5> +2> <2> )
(d) 5 + √2
Răspuns:
(b) √5 & # 8211 2

Întrebarea 31.

Răspuns:
(a) ( frac <6> <17> )

Întrebarea 32.

Răspuns:
(d) niciuna dintre acestea

Întrebarea 33.

Răspuns:
(b) 0

Întrebarea 34.

Răspuns:
(d) ( frac <1> < sqrt <2>> leq x leq 1 )

Întrebarea 36.
Intervalul sin -1 x + cos -1 x + tan -1 x este
(a) [0, π]
(b) ( left [ frac < pi> <4>, frac <3 pi> <4> right] )
(c) (0, π)
(d) ( left [0, frac < pi> <2> right] )
Răspuns:
(b) ( left [ frac < pi> <4>, frac <3 pi> <4> right] )

Întrebarea 37.

Răspuns:
(c) ( frac < pi> <4> )

Întrebarea 38.
Găsiți valoarea sec 2 (tan -1 2) + cosec 2 (cot -1 3)
(a) 12
(b) 5
(c) 15
(d) 9
Răspuns:
(c) 15

Întrebarea 39.

Răspuns:
(d) ( frac <2>)

Întrebarea 40.
Ecuația sin -1 x & # 8211 cos -1 x = cos -1 ( ( frac < sqrt <3>> <2> )) are
(a) soluție unică
(b) nicio soluție
(c) infinit de multe soluții
(d) niciuna dintre acestea
Răspuns:
(a) soluție unică

Întrebarea 41.
3 tan -1 a este egal cu

Răspuns:
(d) ( tan ^ <-1> left ( frac <3 a-a ^ <3>> <1-3 a ^ <2>> right) )

Întrebarea 42.

Răspuns:
(d) ( frac <1> <5> )

Întrebarea 43.
Ecuația 2cos -1 x + sin -1 x = ( frac <11 pi> <6> ) are
(a) nicio soluție
(b) o singură soluție
(c) două soluții
(d) trei soluții
Răspuns:
(a) nicio soluție

Întrebarea 44.

Răspuns:
(d) x

Întrebarea 45.
Dacă tan -1 2x + tan -1 3x = ( frac < pi> <4> ), atunci x este
(a) ( frac <1> <6> )
(b) 1
(c) ( ( frac <1> <6> ), -1)
(d) niciuna dintre acestea
Răspuns:
(a) ( frac <1> <6> )

Întrebarea 46.

Răspuns:
(c) ( sqrt < frac+1>+2>>)

Întrebarea 47.

Răspuns:
(a) ( sqrt)

Întrebarea 48.
Dacă tan -1 x & # 8211 tan -1 y = tan -1 A, atunci A este egal cu
(a) x & # 8211 y
(b) x + y
(c) ( frac<1 + x y> )
(d) ( frac<1-x y> )
Răspuns:
(c) ( frac<1 + x y> )

Întrebarea 49.

Răspuns:
(c) ( pm sqrt < frac <5> <2>> )

Întrebarea 50.
Valoarea cot -1 9 + cosec -1 ( ( frac < sqrt <41>> <4> )) este dată de
(a) 0
(b) ( frac < pi> <4> )
(c) bronz -1 2
(d) ( frac < pi> <2> )
Răspuns:
(b) ( frac < pi> <4> )

Sperăm că MCQ-urile de matematică date pentru clasa 12 cu răspunsuri Capitolul 2 Funcțiile trigonometrice inverse vă vor ajuta. Dacă aveți vreo întrebare referitoare la funcțiile trigonometrice inversă matematice CBSE Clasa 12, lăsați un comentariu mai jos și vă vom răspunde cel mai devreme.


Calcul diferențial CLP-1

O aplicație foarte utilă a diferențierii implicite este de a găsi derivatele funcțiilor inverse. Am folosit deja această abordare pentru a găsi derivata inversului funcției exponențiale - logaritmul.

Vom lua acum în considerare problema găsirii derivatelor inverselor funcțiilor trigonometrice. Acum este un moment foarte bun să ne întoarcem și să recitim secțiunea 0.6 privind funcțiile inverse - în special definiția 0.6.4. Cel mai important, având în vedere o funcție (f (x) text <,> ) funcția sa inversă (f ^ <-1> (x) ) există doar, cu domeniul (D text <,> ) când (f (x) ) trece „testul liniei orizontale”, care spune că pentru fiecare (Y ) din (D ) linia orizontală (y = Y ) intersectează graficul (y = f (x) ) exact o dată. (Adică, (f (x) ) este o funcție one-to-one.)

Să începem jucând cu funcția sinus și să determinăm cum să restricționăm domeniul lui ( sin x ) astfel încât funcția sa inversă să existe.

Exemplul 2.12.1 Inversul lui ( sin x )

Fie (y = f (x) = sin (x) text <.> ) Am dori să găsim funcția inversă care ia (y ) și ne returnează o valoare unică (x ) - astfel încât ( sin (x) = y text <.> )

  • Pentru fiecare număr real (Y text <,> ) numărul de (x ) - valori care respectă ( sin (x) = Y text <,> ) este exact numărul de ori dreapta (y = Y ) intersectează graficul lui ( sin (x) text <.> )
  • Când (- 1 le Y le 1 text <,> ) linia orizontală intersectează graficul infinit de multe ori. Acest lucru este ilustrat în figura de mai sus prin linia (y = 0,3 text <.> )
  • Pe de altă parte, când (Y lt -1 ) sau (Y gt 1 text <,> ) linia (y = Y ) nu intersectează niciodată graficul lui ( sin (x) text <.> ) Aceasta este ilustrată în figura de mai sus prin linia (y = -1.2 text <.> )

Acesta este exact testul liniei orizontale și arată că funcția sinusoidală nu este unu-la-unu.

Acum ia în considerare funcția

Această funcție are aceeași formulă, dar domeniul a fost restricționat, astfel încât, așa cum vom arăta acum, testul liniei orizontale este îndeplinit.

Așa cum am văzut mai sus când (| Y | gt 1 ) nu (x ) se supune ( sin (x) = Y ) și, pentru fiecare (- 1 le Y le 1 text < ,> ) linia (y = Y ) (ilustrată în figura de mai sus cu (y = 0,3 )) traversează curba (y = sin (x) ) infinit de multe ori, astfel încât să existe infinit de multe (x ) care ascultă (f (x) = sin x = Y text <.> ) Cu toate acestea, exact una dintre acele încrucișări (punctul din figură) are (- frac < pi> <2> le x le frac < pi> <2> text <.> )

Adică, pentru fiecare (- 1 le Y le 1 text <,> ) există exact unul (x text <,> ) numiți-l (X text <,> ) care se supune ambii

Această valoare unică, (X text <,> ) este de obicei notată ( arcsin (Y) text <.> ) Aceasta este

Redenumirea (Y rightarrow x text <,> ) funcția inversă ( arcsin (x) ) este definită pentru toate (- 1 le x le 1 ) și este determinată de ecuație

Ecuația 2.12.2

Rețineți că multe texte vor folosi ( sin ^ <-1> (x) ) pentru a indica arcsine, cu toate acestea vom folosi ( arcsin (x) ) deoarece considerăm că este mai clar 1 Motivul principal este acela că oamenii confundă frecvent ( sin ^ <-1> (x) ) cu (( sin (x)) ^ <-1> = frac <1> < sin x> text <.> ) Considerăm că prefixarea prefixului „arc” este mai puțin probabil să ducă la o astfel de confuzie. Notațiile ( textrm(x) ) și ( textrm(x) ) sunt de asemenea utilizate. cititorul ar trebui să le recunoască pe amândouă.

Exemplul 2.12.3 Mai multe despre inversul lui ( sin x )

este nu adevărat că ( arcsin 0 = 2 pi text <,> ) și este nu adevărat că ( arcsin big ( sin (2 pi) big) = 2 pi text <,> ) deoarece (2 pi ) nu este între (- frac < pi> <2> ) și ( frac < pi> <2> text <.> ) Mai general

De exemplu, ( arcsin big ( sin big ( frac <11 pi> <16> big) big) ) nu poate fi ( frac <11 pi> <16> ) deoarece ( frac <11 pi> <16> ) este mai mare decât ( frac < pi> <2> text <.> ) Deci, cum găsim răspunsul corect? Începeți prin schițarea graficului ( sin (x) text <.> )

Se pare că graficul lui ( sin x ) este simetric despre (x = frac < pi> <2> text <.> ) Modul matematic de a spune că „graficul lui ( sin x ) este simetric despre (x = frac < pi> <2> ) ”este„ ( sin ( frac < pi> <2> - theta) = sin ( frac < pi> <2> + theta) ) ”pentru toate ( theta text <.> ) Este adevărat 2 Într-adevăr, ambele sunt egale cu ( cos theta text <.> ) Puteți vedeți acest lucru jucându-vă cu identitățile trig în Anexa A.8. .

și, din moment ce ( frac <5 pi> <16> ) este într-adevăr între (- frac < pi> <2> ) și ( frac < pi> <2> text <, > )


Limitele funcțiilor logaritmice

Putem aplica conceptele de calcul funcțiilor logaritmice, astfel încât să le putem înțelege mai bine. Pentru a grafica funcțiile logaritmice, va trebui să știm cum se comportă la infinit și la asimptota verticală x = 0. Dacă a & gt 1, atunci

În mod similar, următoarele limite indică comportamentul funcției logaritmice naturale pe măsură ce x se apropie de infinit și când x se apropie de 0.

Notă: Amintiți-vă că funcțiile logaritmice și funcția logaritmică naturală nu sunt definite pentru x mai mic sau egal cu 0.


Ablinger, J., Blümlein, J .: Sume armonice, polilogaritmi, numere speciale și generalizările lor. În: Algebra computerului în teoria câmpului cuantic. Texte și monografii în calcul simbolic, pp. 1-32. Springer, Viena (2013)

Bailey, D.H., Borwein, J.M .: Calculul și structura polilogaritmilor de caractere cu aplicații la caracterul sumelor Mordell – Tornheim – Witten. Matematica. Calculator. 85(297), 295–324 (2016)

Choi, Junesang: Integrale log-sinus și log-cosinus. Honam Math. J. 35(2), 137–146 (2013)

Devoto, A., Duke, D.W .: Tabel de integrale și formule pentru calculele diagramelor Feynman. Riv. Nuovo Cimento (3) 7(6), 1–39 (1984)

Espinosa, O., Moll, V .: Pe unele integrale care implică funcția zeta Hurwitz: partea 1. Ramanujan J. 6, 159–188 (2002)

Espinosa, O., Moll, V .: Pe unele integrale care implică funcția zeta Hurwitz: partea 2. Ramanujan J. 6, 440–468 (2002)

Flajolet, P., Salvy, B .: Sume Euler și reprezentări integrale de contur. Exp. Matematica. 7(1), 15–35 (1998)

Freitas, P .: Integrale ale funcțiilor polilogaritmice, ale relațiilor de recurență și ale sumelor Euler asociate. Matematica. Calculator. 74(251), 1425–1440 (2005)

Kölbig, K.S .: Polilogaritmii generalizați ai lui Nielsen. SIAM J. Math. Anal. 17(5), 1232–1258 (1986)

Lewin, R .: Polilogaritmi și funcții asociate. Olanda de Nord, New York (1981)

Mezo, I .: O familie de integrale polilog-trigonometrice. Ramanujan J. 46, 161–171 (2018)

NIST: Biblioteca digitală a funcțiilor matematice. https://www.dlmf.nist.gov

Sofo, A .: Identități integrale pentru sume. Matematica. Comun. 13(2), 303–309 (2008)

Sofo, A .: Sume numerice armonice alternante quadratice. J. Teoria numerelor 154, 144–159 (2015)

Sofo, A .: Formula de însumare care implică numere armonice. Anal. Matematica. 37(1), 51–64 (2011)

Sofo, A .: Noi clase de identități ale numărului armonic. J. Integer Seq. 15(7), articolul 12.7.4 (2012)

Sofo, A .: Integrale ale funcțiilor polilogaritmice cu argument negativ. Acta Univ. Sapientiae Math. 10(2), 347–367 (2018)

Sofo, A .: Familii de integrale de funcții polilogaritmice, funcții speciale și aplicații. În Choi J, Shilin I (eds) Mathematics, vol. 7, p. 143. MDPI AG, Basel (2019). https://doi.org/10.3390/math7020143

Sofo, A., Cvijović, D .: Extensii ale sumelor armonice Euler. Aplic. Anal. Matematică discretă. 6(2), 317–328 (2012)

Sofo, A., Srivastava, H.M .: O familie de sume armonice mutate. Ramanujan J. 37(1), 89–108 (2015)

Xu, C., Yan, Y., Shi, Z .: Sumele și integralele funcțiilor de polilogaritm ale lui Euler. J. Teoria numerelor 165, 84–108 (2016)


1.8: Limite și continuitate a funcțiilor trigonometrice inverse

Matematica este inerent frumoasă și atrage în mod natural interesul fiecărui student care are înclinația de a deveni un bun matematician. Succesul în însușirea matematicii necesită, mai presus de orice, o pasiune / dragoste pentru subiect. Aceasta duce la muncă grea, răbdare și să nu renunți niciodată. Ajută, pe parcurs, să aveți resurse educaționale gratuite care nu împiedică conținutul și care oferă scriere precisă și argumente complete pentru dovezi, exemple etc., pe lângă teorie și exerciții. Acest proiect Online Lecture Notes este contribuția mea modestă în acest scop.

Majoritatea notelor de curs online de mai jos pot fi utilizate ca manuale de curs sau pentru studiu independent. Acestea includ exemple complet rezolvate și seturi de exerciții. Majoritatea sunt încă în curs de desfășurare și au unele margini aspre, dar multe capitole sunt deja într-o formă foarte bună. Dacă sunteți un student care a găsit notele utile, sau un instructor care le-a folosit în predarea sa sau dacă ați găsit erori, aș dori să aud de la dvs. S-ar putea să vă placă și Note de matematică online ale lui Paul și Prelegerile Feynman despre fizică

Pentru profesorii interesați, consultați prezentarea mea power-point referitoare la acest proiect. Acest proiect a fost posibil datorită scriitorului lui Wanchik.


Funcția Lambert W (W (z) ) este definită ca funcția inversă a (w exp (w) ) [R279].

Cu alte cuvinte, valoarea lui (W (z) ) este de așa natură încât (z = W (z) exp (W (z)) ) pentru orice număr complex (z ). Funcția Lambert W este o funcție cu mai multe valori cu infinit de multe ramuri (W_k (z) ), indexate cu (k în mathbb). Fiecare ramură oferă o soluție diferită (w ) a ecuației (z = w exp (w) ).

Funcția Lambert W are două ramuri parțial reale: ramura principală ( (k = 0 )) este reală pentru real (z & gt -1 / e ), iar ramura (k = -1 ) este reală pentru (- 1 / e & lt z & lt 0 ). Toate ramurile, cu excepția (k = 0 ) au o singularitate logaritmică la (z = 0 ).

Returnează prima derivată a acestei funcții.

Funcția naturală de logaritm ( ln (x) ) sau ( log (x) ).

Logaritmii sunt luați cu baza naturală, (e ). Pentru a obține un logaritm de altă bază b, utilizați log (x, b), care este în esență scurtă pentru log (x) / log (b).

log reprezintă ramura principală a logaritmului natural. Ca atare, are o ramură tăiată de-a lungul axei reale negative și returnează valori având un argument complex în ((- pi, pi] ).

Returnează această funcție în formă (bază, exponent).

Returnează această funcție ca o coordonată complexă.

Returnează prima derivată a funcției.

Returnează (e ^ x ), funcția inversă a ( log (x) ).

Returnează termenul următor din expansiunea din seria Taylor a ( log (1 + x) ).


Obțineți acces la întregul curs Leaving Cert Higher Level Maths până la 1 iulie 2022 pentru doar 199,99 €

Despre tutor

Paul are o licență în farmacie la Trinity College Dublin. După absolvire, Paul a făcut o schimbare în carieră prin finalizarea masterului în educație și a predat cursul actual de matematică de la introducerea sa.

Împreună cu cariera sa didactică, Paul este fost atlet paralimpic și voluntar în calitate de ambasador pentru premiul Gaisce President’s, motivându-i pe elevi și inspirându-i să depășească obstacolele de-a lungul călătoriei lor către vârsta adultă.

[email protected] 087-214 93 48


Aceste funcții Aren & # 8217t sunt într-adevăr continue!

Eticheta & # 8220funcția continuă dreaptă & # 8221 este un pic greșită, deoarece acestea nu sunt funcții continue. Pentru ca o funcție să fie continuă, limita mâinii drepte trebuie să fie egală cu f (a), iar limita stânga trebuie să fie egală cu f (a). Definiția pentru o funcție continuă dreaptă nu menționează nimic despre ceea ce se întâmplă în partea stângă a punctului. Funcția poate fi continuă acolo sau poate să nu fie. Singura modalitate de a ști sigur este să luați în considerare și definiția unei funcții continue stânga.


Teorema valorii intermediare

Teorema valorii intermediare afirmă că dacă avem un continuu
funcția f (x) pe intervalul [a, b] cu M fiind orice număr între f (a)
și f (b), există un număr c astfel încât:

Intermediarul
Teorema valorii este o aplicație geometrică care ilustrează faptul că continuă
funcțiile vor lua toate valorile între f (a) și f (b). Putem vedea dacă desenăm o linie orizontală din M, aceasta va atinge graficul cel puțin o dată. Dacă funcția nu este continuă pe interval, această teoremă nu ar fi valabilă.

Este important de reținut că această teoremă nu ne spune valoarea lui M, ci doar că există. De exemplu, putem folosi această teoremă pentru a vedea dacă o funcție va avea x interceptări.

(1) Utilizați teorema valorii intermediare pentru a determina dacă f (x) =
2x 3 & # 8211 5x <> & # 8211 10x + 5
are o rădăcină undeva în
interval [-1,2].

Cu alte cuvinte, ne întrebăm dacă f (x) = 0 în intervalul [-1,2]. Folosind teorema, putem spune că vrem să arătăm că există un număr c unde -1

Vedem că p (-1) = 8 și p (2) = -19. Prin urmare, 8> 0> -19 și cel puțin o rădăcină există pentru f (x).

În mod similar cu conceptul de limită, este
important pentru a dezvolta un înțelegere intuitivă a continuității si ce
înseamnă în termeni de limite. Luând valori infinit de apropiate ale lui x
(domeniul), putem face fiecare f (x) cât de aproape ne dorim. Ar trebui, de asemenea
ia o înțelegerea geometrică a funcțiilor continue (Teorema valorii intermediare).


Priveste filmarea: 22 Lectia 266 - Derivate Primitive Limite Formule trigonometrice Functii directe si inverse Grafice (Octombrie 2021).